算法 on bystander's blog

等物体填充问题

Sat, 29 Jun 2013 18:14:08 +0000

那天在群里，rich大牛提了一个问题，一个直径为10cm的球内最多能够填充直径为1cm的球多少个.

之前看到过一个类似的简单说明，就像是在一个盒子里装乒乓球，如果装满了，想继续装，如何办？经验告诉我们，摇一摇盒子。。这个问题看上去简单，其实是个NP难问题…于是，查找了一些资料，比较有意思，分享一下。

首先是stetson大学efriedma教授的网页，收集了各类填充（英文是packing）问题的图示，欢迎移步：packing center ，不过这里面恰好没有球体填充（SpherePacking）的问题，然后继续查找，进入了一个可以演示球体填充问题的页面：sphere packing demo 感谢网站作者Hugo Pfoertner，这里作者解出了1-72个球的问题，但是，作者说对于n>10的情况无法证明最优化.不过这个页面的演示太帅了，推荐看看。

可以鼠标拖动旋转3D视角。

然后在数学世界看到了一球体填充问题的证明结果，见：SpherePacking，当然，下面一大堆引用我都没看..看文章里的意思是说这个填充问题填充率已经被证明最大是77.9%，但是这个上限可能还能提高，因为貌似根据这个情况，rich大牛提出的这个问题应该数量在779左右..

阿里巴巴5月5日综合算法题详解

Sun, 02 Jun 2013 15:44:22 +0000

之前参加了阿里的笔试和电面，让后天那个敏感的日子去参加现场面，就去看了一下那天笔试的最后一道综合题，看着网上清一色最后一道题不知道从哪转的答案，不忍直视，一看代码就是错的，最直接的就是求中位数连奇偶性都不判断，直接处以2..这，另外当在无法整除的情况下，数据结果错误。

这道题的大意是：有一个淘宝商户，在某城市有n个仓库，每个仓库的储货量不同，现在要通过货物运输，将每次仓库的储货量变成一致的，n个仓库之间的运输线路围城一个圈，即1->2->3->4->…->n->1->…，货物只能通过连接的仓库运输，设计最小的运送成本（运货量*路程）达到淘宝商户的要求，并写出代码。

解题思路：

假设n个仓库的初始储货量分别为warehouse[1],warehouse[2],…,warehouse[n] 计算平均储货量

 average = （warehouse[1]+warehouse[2]+...+warehouse[n])/n

就算出来了最终的结果中，每个仓库应该有的存量首先，从仓库1向仓库n运送k；然后，从1到n-1，依次向下运送某一特定值，使得每一个仓库的余量都为average，剩下的问题就是求总代价的最小值了。

设第0步从1仓库向n仓库（注意因为是圆圈，所以路径长度是1）运出k存量，k可以为负，如果为负数，意味着从n向1运输|k|存量，然后从循环，从（1到n-1）,从i仓库向i+1仓库运输，运输的量需要保证i仓库在运输完毕后等于average

第0步（从仓库1向仓库n运送k）:花费代价为 |k|，
第1步（确保仓库1的余量为average）：需要花费代价为

|warehouse[1]-average-k|

也就是从1向2伙从2向1运输 3. 第2步（确保仓库2的余量为average）：代价为

|warehouse[2]+warehouse[1]-average-k-average|=|warehouse[1]+warehouse[2]-2*average-k|

… n-1.第n-1步：代价为

|warehouse[1]+warehouse[2]+...+warehouse[n-1]-(n-1)*average-k|

此时，仓库n剩下的货物量：

(warehouse[n]+k)+warehouse[1]+warehouse[2]+...+warehouse[n-1]-(n-1)*average-k=(warehouse[1]+warehouse[2]+...+warehouse[n])-(n-1)*average=average

刚好也满足，其实这里不用推导，因为平均值是算好的，所以最胡一定是刚好完成的。

总的代价为：

|k|+|warehouse[1]-average-k|+|warehouse[1]+a[2]-2*average-k|+...+|warehouse[1]+warehouse[2]+...+warehouse[n-1]-(n-1)*average-k|

不妨令sum[i] = warehouse[1]+warehouse[2]+…+warehouse[i]-i*average 则，总代价可表示为：|k|+|sum[1]-k|+|sum[2]-k|+…+|sum[n-1]-k| 这个式子可以看成在水平数轴上寻找一个点k，使得点k到点0,sum[1],sum[2],sum[3],…,sum[n-1]的距离之和最小，显然k应该取这n个数的中位数。至此问题解决。

给出详细注释代码：

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include<string>

using namespace std;

const int X = 100000;
double sum[X],warehouse[X];
int n;

double Abs(double x)
{
	return max(x,-x);
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	while(true)
	{
		double total = 0;
		double mid=0;
		cout<<"请输入仓库数目：";
		cin>>n;
		//读入n个仓库的值，并计算总数
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			cout<<"请输入第"<<i<<"个仓库的存量：";
			cin>>warehouse[i];
			total += warehouse[i];
		}
		//计算每个仓库应该最终存储的值
		double average = total/n;
		//计算sum数组
		for(int i=1;i<n;i++)
			sum[i] = warehouse[i]+sum[i-1]-average;
		//排序后打算去中位数
		//sort采用半开半闭区间，所以排序为0～n-1
		sort(sum,sum+n);
		//这个可以自己举个数字就知道了
		if(n%2!=0)
		{	
			mid = sum[n/2];
		}
		else
		{
			mid=(sum[n/2]+sum[n/2-1])/2;
		}
		cout<<"应该从1开始,运输"<<mid<<"货物,然后依次保证符合条件即可"<<endl;
		double ans = Abs(mid);
		for(int i=1;i<n;i++)
			ans += Abs(sum[i]-mid);
		cout<<"总成本花费是:"<<ans<<endl;
		cout<<"----------------------------------------------------------------------"<<endl;
	}
	return 0;
}

思路借鉴了：http://hi.baidu.com/hujunjiehit/item/54204f01931ee6c49157184c

错误之处欢迎留言指出..

邻接表实现无向图(C++)

Fri, 31 May 2013 15:05:29 +0000

很早以前写的代码了，贴出来做个备份吧。用向量来存储一条邻接链表，存储可连通值。实现了判断是否连通，添加边，添加顶点的功能。

UnDirectGraph.h

#pragma once

#include "stdafx.h"
#include <vector>
using namespace std;
class UnDirectGraph
{
private:
	int vCount;
	vector<int> *adj;
public:
	int GetVCount();
	UnDirectGraph(int vCount);
	void AddEdge(int v,int w);
	vector<int> &Vadj(int v);
	bool IsConnected(int v,int w);
};

UnDirectGraph.cpp

#pragma once

#include "stdafx.h"
#include "UnDirectGraph.h"
using namespace std;
UnDirectGraph::UnDirectGraph(int _vCount)
{
	this->vCount=_vCount;
	adj=new vector<int>[vCount];

	for (int i=0;i<vCount;i++)
	{
			adj[i].clear();
	}

}
void UnDirectGraph::AddEdge(int v,int w)
{
	adj[v].push_back(w);
	adj[w].push_back(v);
}

vector<int>& UnDirectGraph::Vadj(int v)
{
	return adj[v];
}

bool UnDirectGraph::IsConnected(int v,int w)
{
	for (vector<int>::iterator iter=adj[v].begin();iter!=adj[v].end();iter++)
	{
		if (*iter==w)
		{
			return true;
		}
	}
	return false;
}

int UnDirectGraph::GetVCount()
{
	return vCount;
}

代码还算清晰，就不解释了，有问题留言反馈。谢谢。

求整数1-N范围和为N的所有组合

Mon, 27 May 2013 10:55:49 +0000

看到的一道题，给出答案

问题：找出整数1~N范围和为N的所有集合，集合里的数不允许重复。

解答：递归吧

代码如下：

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;

void PrintResult(int *log,int index)
{
	for (int i = 0; i <index; ++i)
	{
		cout<<log[i]<<" ";
	}
	cout<<endl;
}

void CalCombination(int* log,int startNum,int N,int &index)
{
	if (N==0)
	{
		PrintResult(log,index);
	}

	else
	{
		for (int i = startNum; i <= N; ++i)
		{
			log[index++]=i;
			CalCombination(log,i+1,N-i,index);
		}
	}
	index--;
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	cout<<"请输入N:";
	int N=20;
	cin>>N;
	int *log=new int[N];
	int index=0;
	CalCombination(log,1,N,index);
}

要是允许重复，也简单，将递归中的这句话改为：

CalCombination(log,i,N-i,index);

同理，还可以解决类似给定一个数组，让求和为N的元素组合，只需要现将元素排个序，然后思路相同。

倒水问题求解(C++)

Wed, 15 May 2013 18:37:24 +0000

明天要去参加微软面试，不求顺利，但求体验。

这个题目答题的意思是:

给你一个容量为A升的桶和一个容量为B升的桶，水不限使用，要求精确得到Q升水.请说明步骤

当数字比较小的时候,我们可以通过大脑穷举来得到结果,但这里有两个问题,当数字很大的时候怎么解?题目给定的数据是否有解?

首先判断是否有解?

题目可以理解为,x为用A的次数,y为用B的次数,Q为目标值

Q = A * x + B * y Q =目标值.

Q必须是 Gcd(A,B)(也就是A,B的最大公约数)的倍数,否则无解,如果 Gcd(A,B) == 1, 任何Q都是可解的

最简单的方法就是把A的水不断的向B中倒(B向A中倒也行),知道得到最终结果,如果桶满了,就清空该桶.举个例子

A = 3, B = 4 并且 Q = 2 重复得从 A->B

A B

0 0 4 0 1 3 1 0 0 1 4 1 2 3 <-A桶中得到2了

试试从 B->A

A B

0 0 0 3 3 0 3 3 4 2 <- B中也得到了2 但是注意,从 B->A 比从 A->B快哦

然后我贴出代码

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <vector>
#include<string>

using namespace std;

//热门智力题 - 打水问题
//基本思想：用A桶容量的倍数对B桶的容量进行取余。
//指导方针：不断用A桶装水倒入B桶，B桶满了立即清空
//每次判断下二个桶中水的容量是否等于指定容量。
const string OPERATOR_NAME[7] = {
	"装满A桶",
	"装满B桶",
	"将A桶清空",
	"将B桶清空",
	"A桶中水倒入B桶",
	"B桶中水倒入A桶",
	"成功得到结果"
};
int max(int a,int b)
{
	return a>b?a:b;
}
int gcd(int m,int n)
{
	int temp,p,r;
	//n存放最小数，m存放最大数
	if(n>m){
		temp = n;
		n = m;
		m = temp;
	}
	p=n*m;//先取得两个数的积
	while(n!=0){
		r=m%n;
		m=n;
		n=r;
	}
return m;
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int    a_capacity, b_capacity, goal_capacity;
	vector<string> record;       //记录操作过程
	int a_water, b_water;

	cout<<"请输入A桶容量，B桶容量，目标容量Q：";
	cin>>a_capacity>>b_capacity>>goal_capacity;
	a_water = b_water = 0; //A桶，B桶中有多少升水

	//判断是否一定可解
	if (a_capacity<=0 || b_capacity<=0 || goal_capacity<=0)
	{
		cout<<"请保证所以容量大于0"<<endl;
		return -1;
	}
	if (goal_capacity>max(a_capacity,b_capacity))
	{
		cout<<"要量出的容量应该小于其中桶容量"<<endl;
		return -2;
	}
	//如果可解则解之
	if(goal_capacity%gcd(a_capacity,b_capacity)==0)
	{
		//存放临时的字符串构造
		char szTemp[30];
		while (true)
		{
			if (a_water == 0)//A桶没水,就装满水
			{
				a_water = a_capacity;
				sprintf(szTemp, "         A:%d  B:%d", a_water, b_water);
				record.push_back(OPERATOR_NAME[0] + szTemp);//先填满 A桶
			}
			else
			{
				//如果A桶的水比(B桶容量-B桶的水)要多，也就是多于没装满的B桶空出来的部分，A桶会剩下
				if (a_water > b_capacity - b_water)
				{
					//A桶向B桶倒水直到B桶满，此时A桶的水==A桶的水+B桶的水-B桶容量
					a_water = a_water + b_water- b_capacity;
					b_water = b_capacity;		 //B桶的水装满了
					sprintf(szTemp, "  A:%d  B:%d", a_water, b_water); 
					record.push_back(OPERATOR_NAME[4] + szTemp);//A->B	
					if (a_water == goal_capacity)
						break;
					b_water = 0;			//将B桶清空
					sprintf(szTemp, "       A:%d  B:%d", a_water, b_water); 
					record.push_back(OPERATOR_NAME[3] + szTemp);
				}
				else
				{
					//A桶小于装满B桶需要的水，此时B桶的水==A桶的水+B桶的水
					b_water += a_water;	
					a_water = 0;
					sprintf(szTemp, "  A:%d  B:%d", a_water, b_water);
					record.push_back(OPERATOR_NAME[4] + szTemp);//A->B
					if (b_water == goal_capacity) 
						break;
				}
			}
		}
		record.push_back(OPERATOR_NAME[6]);	//break出来说明成功了
		cout<<"\n---------------------------------------------------"<<endl;
		cout<<"以下下是一种方案"<<endl;
		vector<string>::iterator pos;
		for (pos = record.begin(); pos != record.end(); pos++)
			cout<<*pos<<endl;
		cout<<"---------------------------------------------------"<<endl;
	}
	else
	{
		cout<<"此情况下无解"<<endl;
	}

	return 0;
}

运行结果如下：

模板优先级队列及堆排序(C++实现)

Tue, 16 Apr 2013 08:42:58 +0000

模板优先级队列，数组实现，再熟悉一下常用算法，同时简单的堆排序应用

写了一个是队列自增长，另一个为了演示我还添加了一个叫做FillPq的方法，这个方法可以使用一个数组直接填充到优先级队列里，此时，优先级队列并不优先，然后进行下滤调整，之后建堆完成，输出即可

#include "stdafx.h"

template< class T>
class PriorityQueue
{
private:
	 T *pq;
	 int N;
	 int capacity;
public:
	PriorityQueue(void);
	~PriorityQueue(void);
	void Insert(T x);
	T DelTop();
	void Swim(int k);
	void Sink(int k);
	bool Less(int i,int j);
	void Swap(int i,int j);
	bool Resize();
	void FillPq(T arr[],int size);
};

template< class T>
void PriorityQueue<T>::FillPq( T arr[],int size )
{
	N=size;
	capacity=2*size;
	for (int i=0;i<size;i++)
	{
		pq[i+1]=arr[i];
	}
}

template< class T>
PriorityQueue<T>::PriorityQueue(void)
{
	pq=new T[10];
	N=0;
	capacity=10;
}

template< class T>
void PriorityQueue<T>::Insert( T x )
{
	if (N==capacity)
	{
		Resize();
	}
	pq[++N]=x;
	Swim(N);
}

template< class T>
T PriorityQueue<T>::DelTop()
{
	T max=pq[1];
	Swap(1,N--);
	Sink(1);
	pq[N+1]=NULL;
	return max;
}
//下滤
template< class T>
void PriorityQueue<T>::Sink( int k )
{
	while (2*k<=N)
	{
		int j=2*k;
		if (j<N && Less(j,j+1))
		{
			j++;
		}
		if (!Less(k,j))
		{
			break;
		}
		Swap(k,j);
		k=j;
	}
}
//上浮
template< class T>
void PriorityQueue<T>::Swim( int k )
{
	while (k>1 && Less(k/2,k))
	{
		Swap(k,k/2);
	}
}

template< class T>
void PriorityQueue<T>::Swap( int i,int j )
{
	T temp=pq[i];
	pq[i]=pq[j];
	pq[j]=temp;
}

template< class T>
bool PriorityQueue<T>::Less( int i,int j )
{
	return pq[i]<pq[j];
}

template< class T>
bool PriorityQueue<T>::Resize()
{
	T *newPq=new T[capacity*2];
	capacity=capacity*2;
	for (int i=1;i<=N;i++)
	{
		newPq[i]=pq[i];
	}
	pq=newPq;
	return true;
}

template< class T>
PriorityQueue<T>::~PriorityQueue(void)
{
}

然后是堆排序

模板栈以及中缀表达式求值(C++实现)

Thu, 11 Apr 2013 18:50:25 +0000

栈直接用链表实现，这个比较简单，不多说，不过C++写程序，IDE的错误检测不是很给力。

至于给定一个中缀表达式，如何不转换成后缀表达式，直接求值，方法就是使用两个栈，一个操作符栈，一个操作数栈，然后从左到右扫描表达式，我这里中缀表达式计算实现的很简单，不完整，大家可以扩展。栈的实现是我想写的，思路如下：

1.如何是操作数，压入操作数栈

2.如果是操作符，压入操作符栈

3.如果是左括号，直接忽略

4.如果是有括号，弹出操作符栈栈顶元素，然后弹出操作数栈两个元素，进行操作以后结果压入操作数栈

看个图就好了

最后给出栈顶实现代码

#include "stdafx.h"
#pragma region Node定义

template <class T>
class Node
{
	template<class T> 
	friend class Stack;
private:
	T m_data;
	Node *pNextNode;
public:
	Node();
	Node(T d);
};

template <class T>
Node<T>::Node()
{
	m_data=default(T);
	pNextNode=NULL;
}
template <class T>
Node<T>::Node(T d)
{
	m_data=d;
	pNextNode=NULL;
}
#pragma endregion 

#pragma region Stack定义

template <class T>
class Stack
{

private:
	Node<T> *m_pTopNode;
	int m_nNodeCount;
public:
	Stack();
	~Stack();
	bool IsEmpty();
	bool Push(T e);
	T Pop();
	int Size();
};

template <class T>
Stack<T>::Stack() : m_pTopNode(NULL),m_nNodeCount(0)
{
}

template <class T>
Stack<T>::~Stack()
{
	while (!IsEmpty())
	{
		Node<T> *pTempNode = m_pTopNode;
		m_pTopNode = m_pTopNode->pNextNode;
		delete (pTempNode);
		pTempNode = NULL;
	}
	m_nNodeCount = 0;
	m_pTopNode = NULL;
}

template <class T>
bool Stack<T>::IsEmpty()
{
	return (m_pTopNode == NULL);
}

template <class T>
bool Stack<T>::Push(T e )
{
	Node<T> *pNewNode = new Node<T>(e);
	if (NULL == pNewNode)     {
		return false;
	}

	if(! IsEmpty()) {
		pNewNode->pNextNode = m_pTopNode;
	}
	m_pTopNode = pNewNode;
	m_nNodeCount ++;

	return true;
}

template <class T>
T Stack<T>::Pop()
{
	if(IsEmpty()) {
		return T(-1);
	}
	T e;
	e = m_pTopNode->m_data;
	Node<T> *pNode = m_pTopNode;
	m_pTopNode = m_pTopNode->pNextNode;
	delete (pNode);
	m_nNodeCount--;

	return e;
}

template <class T>
int Stack<T>::Size()
{
	return m_nNodeCount;
}
#pragma endregion

然后是main函数代码

[藏]关于B树的一篇文章

Mon, 01 Apr 2013 18:12:37 +0000

很多人对B树的理解有很多错误，我看的最多的就是有人混淆二叉树（Binary Tree）和B树（B-Tree）,二叉树是不用简称，也就是BT的，而特殊一点的二叉搜索树才会用BST(Binary Search Tree),至于B-树和B树，这两个其实一样的，英文都是(B-Tree)，注意看中间的-号，这个是国内翻译的问题.所以大家不要被误导.

Rudolf Bayer 和 Ed McCreight 于1972年，在Boeing Research Labs 工作时发明了B 树，但是他们没有解释B 代表什么意义（如果有的话）.Douglas Comer 解释说: 两位作者从来都没解释过B树的原始意义。我个人觉得很有可能是他的名字，程序员对其作品的一种情结吧.

这篇文章来自国外,是某大学的CS课程在线的,由于有时候无法访问，我直接提供PDF版,对其构造过程非常清晰.非常非常好的B树教程,图示很多,就不翻译了,强烈推荐阅读！

下载：B树讲解